Barisan dan deret
barisan dan deret
Sebelum belajar lebih lanjut tentang barisan dan deret geometri, kamu harus tahu dulu apa itu barisan dan deret. Barisan adalah pola suatu bilangan dengan aturan atau ketentuan tertentu. Sementara deret adalah bentuk penjumlahan dari suatu pola bilangan atau barisan.
Pengertian Barisan Aritmatika
Aritmatika terdiri dari barisan dan deret, sehingga biasa disebut barisan aritmatika atau deret aritmatika. Apa perbedaan antara barisan dan deret?
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan atau urutan bilangan yang memiliki selisih tetap. Contohnya seperti pada pembukaan artikel ini, yaitu urutan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, dan seterusnya. Jika diperhatikan, selisih antarbilangannya selalu tetap, yaitu 2. Selisih pada barisan aritmatika disebut sebagai beda atau dinyatakan secara matematis sebagai b. Setiap bilangan yang menyusun barisan disebut suku atau dinyatakan sebagai Un . Misalnya, 1 = suku ke-1 (U1), 3 = suku ke-2 (U2), 5 = suku ke-3 (U3), dan seterusnya. Sementara itu, suku pertama (U1) pada barisan dinyatakan secara matematis sebagai a.
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama (Sn) dari barisan aritmatika. Ciri deret aritmatika adalah suku-suku bilangan yang dijumlahkan memiliki selisih tetap. Contohnya adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + …, dan seterusnya. Lantas, apa perbedaan deret aritmatika dengan deret geometri? Perbedaannya adalah deret geometri berlaku untuk barisan geometri, yaitu barisan yang polanya berupa perkalian atau pembagian. Ciri barisan aritmatika yang membedakannya dengan barisan geometri adalah selisih sukunya yang selalu tetap.
Rumus Barisan dan Deret Aritmatika
Rumus barisan aritmatika biasanya digunakan untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan. Sementara itu, rumus deret digunakan untuk menghitung jumlah n suku pada rentang tertentu. Itulah mengapa, rumus barisan dan deret aritmatika itu berbeda. Untuk perumusan masing-masing adalah sebagai berikut.
Rumus Barisan Aritmatika
Rumus barisan aritmatika tidak bisa terlepas dari ketiga variabel yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu selisih atau beda (b), suku pertama (a), dan posisi suku ke-n (n). Secara matematis, suku ke-n (Un) barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut.
link image: https://drive.google.com/drive/folders/1AtgMn0YwpZZVzIWI8Lh__2J9PEaOhBgN
Dengan:
Un = suku ke-n;
a = suku ke-1;
n = posisi suku yang ditanyakan; dan
b = selisih (Un-1 – Un).
Setelah mengetahui rumus barisan aritmatika di atas, cobalah untuk menyelesaikan tantangan di awal artikel ini. Berapakah suku ke-20 dari barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …?
Dari barisan tersebut diperoleh:
a = 1
b = 2
Suku ke-20 dinyatakan sebagai U20. Dengan demikian,
Jadi, suku ke-20 dari barisan tersebut adalah 39. Ternyata, dalam hitungan detik selesai kan!
Rumus Deret Aritmatika
Rumus deret aritmatika juga masih memuat variabel yang sama dengan barisan, seperti variabel a, b, dan n. Secara matematis, rumus deret aritmatika dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Sn = jumlah n suku pertama;
n = urutan suku;
a = suku pertama; dan
b = selisih atau beda antarsuku.
Dari rumus di atas, kira-kira berapa ya jumlah semua suku dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15?
Mari, kita uraikan satu per satu.
Suku pertama deret tersebut adalah 1, sehingga a= 1.
Selisih setiap sukunya adalah 2, sehingga b = 2.
Banyaknya suku = 8, sehingga n = 8.
Dengan demikian, jumlah sukunya bisa dirumuskan sebagai berikut.
Jadi, jumlah semua suku tersebut adalah 64.
Melalui rumus deret inilah, proses perhitungan menjadi lebih singkat karena kamu tidak perlu menghitung jumlahnya satu per satu. Bisa ngebayangin gak gimana ribetnya menghitung satu per satu?
Apa Perbedaan Barisan dan Deret Aritmatika?
Dari pengertian dan rumus di atas, tentu Quipperian sudah tahu kan perbedaan barisan dan deret aritmatika? Simplenya tu kalau barisan masih berupa urutan bilangannya, tapi untuk deret sudah berupa operasi penjumlahan dari bilangan tersebut. Dari sisi rumus juga sudah berbeda. Rumus barisan digunakan untuk menentukan suku ke-n dari pola suatu bilangan aritmatika. sementara rumus deret digunakan untuk menentukan hasil penjumlahan suku-suku atau bilangan aritmatika
Pengertian Barisan dan Deret Geometri
Sama seperti aritmatika, geometri juga terdiri dari barisan dan deret atau kamu biasa menyebutnya sebagai barisan geometri dan deret geometri. Apa perbedaan antara barisan dan deret geometri?
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Contohnya seperti pada pembelahan amoeba, di mana satu amoeba akan membelah diri menjadi dua, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat, dan seterusnya. Jika dinyatakan sebagai barisan geometri, akan menjadi 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 4, 8, …, n disebut sebagai suku atau penyusun barisan. Secara matematis, suku dilambangkan sebagai Un (suku ke-n). Sementara itu, nilai perbandingan antara Un+1 dan Un disebut sebagai rasio. Secara matematis, rasio dilambangkan sebagai r. nilai rasio tidak selalu r > 1, ya. Jika nilai sukunya semakin mengecil, sudah pasti rentang rasionya r < 1. Suku pertama (U1) pada barisan geometri dilambangkan sebagai a.
Pengertian Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Secara matematis, deret geometri dilambangkan sebagai Sn. Contohnya saat kamu diminta untuk menentukan jumlah seluruh amoeba setelah membelah diri 10 kali. Lantas, apa perbedaan deret geometri dan deret aritmatika? Perbedaannya, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, sedangkan deret aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika.
Bagaimana Ciri Barisan dan Deret Geometri
Seperti Quipperian ketahui bahwa barisan dan deret itu banyak macamnya. Lantas, apa sih ciri suatu barisan dan deret geometri itu?
Ciri Barisan Geometri
Ciri barisan geometri yang membedakannya dengan barisan aritmatika atau barisan lain adalah perbandingan antarsukunya selalu tetap. Artinya, suku-suku pada barisan ini merupakan kelipatan dari suku-suku sebelumnya. Kelipatan itu sesuai dengan rasionya, bisa lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari 1. Tahukah kamu jika barisan geometri ada yang polanya tanpa batas atau tak hingga lho. Itulah mengapa, barisannya disebut barisan geometri tak hingga. Barisan ini dibagi menjadi dua, yaitu barisan geometri tak hingga konvergen dan divergen. Ciri barisan geometri tak hingga konvergen adalah rasionya berada di antara -1 dan 1 (-1 < r < 1) dan nilainya akan terus mengecil. Sementara itu, ciri barisan geometri tak hingga divergen ini adalah r > 1 dan nilainya akan terus membesar tanpa ada batas tertentu.
Ciri Deret Geometri
Ciri deret geometri adalah suku-suku yang dijumlahkan memiliki perbandingan nilai tetap. Contohnya, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + … + …, dan seterusnya.
Rumus Barisan dan Deret Geometri
Rumus barisan geometri biasanya digunakan untuk menentukan suku ke-n dari barisan tersebut. Sementara rumus deret digunakan untuk mencari jumlah n suku tertentu dari barisan geometri. Seperti apa sih rumusnya?
Rumus Barisan Geometri
Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.
Dengan ketentuan:
Un = suku ke-n;
a = suku ke-1 atau U1;
n = letak suku yang dicari; dan
r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.
Setelah kamu tahu rumus untuk mencari suku-n, cobalah hitung berapa jumlah amoeba yang dihasilkan pada pembelahan ke-10? Jumlah awal amoebanya adalah satu, ya.
Mula-mula, kamu harus membuat barisan geometri dari pembelahan amoeba seperti berikut.
1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …
Dari barisan di atas, diketahui:
a = U1 = 1
r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2
n = 10
dengan demikian:
Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512.
Rumus Deret Geometri
Berdasarkan nilai rasionya, deret geometri memiliki beberapa rumus seperti berikut.
Rumus deret geometri untuk r > 1
Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Sn = jumlah n suku barisan geometri;
a = suku ke-1 atau U1;
n = letak suku yang dicari; dan
r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.
Rumus deret geometri untuk r <1
Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.
Dengan:
Sn = jumlah n suku barisan geometri;
a = suku ke-1 atau U1;
n = letak suku yang dicari; dan
r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.
Rumus deret geometri tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen adalah jumlah barisan geometri yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus mengecil. Secara matematis, rumus deret geometri tak hingga konvergen adalah sebagai berikut.
Contoh deret geometri tak hingga konvergen adalah saat kamu menjatuhkan bola dari ketinggian tertentu. Semakin lama, ketinggian bola akan berkurang hingga kemudian berhenti.
Rumus deret geometri tak hingga divergen
Divergen artinya menyebar, sehingga deret geometri tak hingga divergen adalah jumlah barisan yang banyaknya tak hingga dengan nilai yang terus membesar. Oleh karena nilainya yang terus membesar tanpa ada batas tertentu, maka rumus deret geometri tak hingga divergen tidak bisa ditentukan karena S∞ = ∞.
Bunga, Pertumbuhan, Peluruhan : Pengertian, Jenis, dan Rumusnya
Hai sobat rumushitung! gimana kabarnya? semoga sobat semua sehat selalu, dan tetap semangat belajar yaa!. Pada kesempatan kali ini admin ingin berbagi materi matematika yaitu Bunga, Pertumbuhan dan Peluruhan.
Apa Sih bunga, pertumbuhan, dan peluruhan itu?
Mungkin sobat semua sudah akrab dengan kata “Bunga”. Akan tetapi bukan bunga yang ditanam itu ya.. Bunga yang dimaksud, yaitu bunga yang terkait dengan Bank. Bagi sobat yang sudah pernah menabung atau meminjam uang di bank, mungkin sedikit mengerti soal bunga.
Pengertian Bunga
Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.
Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh: besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga / persentase. Bunga dibedakan menjadi 2 jenis, yakni bunga Tunggal dan bunga Majemuk. Berikut uraiannya..
Jenis-jenis Bunga
Berikut ini merupakan jenis-jenis bunga menurut besarnya bunga yang dibayarkan untuk setiap periode:
Bunga Tunggal
Bunga tunggal yaitu bunga yang dibayar untuk setiap periodenya dengan jumlah yang tetap. Bunga tunggal ini dihitung menurut modal awal.
Rumus bunga tunggal pada akhir periode;
Rumus besarnya modal pada akhir;
Keterangan:
B = bunga
M0 = modal awal
Mt = modal pada akhir periode – t
t = periode
r = tingkat suku bunga (persentase)
Contoh soal
Sebuah lembaga koperasi simpan pinjam, memberikan bunga pinjaman untuk anggotanya sebanyak 2% per bulannya. Jika Nia meminjam uang sejumlah Rp. 800.000 dengan jangka waktu 4 bulan, tentukanlah besarnya bunga untuk setiap bulannya yang harus oleh Nia sesuai jangka waktu yang telah disepakati!
Jawab:
M0 = Rp. 800.000
r = 2 %
t = 4 bulan
Sehingga, besarnya bunga untuk setiap bulan dihitung dengan:
dan jumlah uang yang harus dikembalikan setelah 4 bulan;
lanjut ke…
Bunga majemuk
Bunga majemuk yaitu, bunga yang dihitung menurut jumlah modal yang dipakai ditambahkan dengan akumulasi bunga yang telah terjadi. bunga majemuk ini sering disebut dengan bunga berbunga, bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan deret geometri.
Misalkan, Modal Sejumlah M0, akan diberlakukan bunga majemuk,dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besarnya modal saat periode ke-t (Mt) bisa dihitung dengan cara:
Sehingga, rumus untuk besar modal pada periode ke-t dengan bunga majemuk yaitu;
keterangan;
Mt = modal pada akhir periode – t
M0 = modal awal
i = tingkat suku bunga
t = periode
Contoh soal
Sebuah bank swasta memberikan pinjaman kepada nasabahnya sebesar Rp. 6.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 3% per tahun. berapakah modal yang harus dikembalikan nasabah tersebut setelah 1 tahun?
Jawab:
M0 = Rp. 6.000.000
i = 3% = 0,03
t = 12 bulan
Modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun /12 bulan yaitu:
Anuitas
Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;
1. Besarnya pinjaman,
2. Besarnya bunga, dan
3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran
Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;
Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang
Jika hutang sebesar M0 = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:
Besarnya bunga pada periode ke-n;
Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;
dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;